Родная программа моботикса работает в фоне и этим все решает. Мы слишком много потребляем ресурсов на постоянный опрос драверов, поэтому эпл (впрочем и гугл уже тоже) не дает нам возможность крутиться в фоне.
Еще раз озвучу: мы НЕ решали задачу совместной работы PUSH+SIP, поэтому сейчас я могу лишь рассуждать о возможности реализации.

Мессенджеры, работают в фоне и реагируют не на пуш, а на свои сообщения. Игрушки, как правило, тоже не пушатся, а выдают месседж по расписанию.
Возможно и есть какие-то механизмы "выделиться", но экспресс-исследование ничего не дало...

звук уведомления зависит от системных настроек (на сколько мне известно, iOS не дает задавать разные звуки для разных приложений, только на уровне системы).

Сейчас можете проверить: по нажатию на пуш приложение само запускается. При этом вы можете отлавливать в приложении событие и обрабатывать значение data. Приложение поднимается ТОЛЬКО после нажатия на PUSH - это ограничение iOS.

PUSH "поднимает" приложение, передает data, и теперь в скрипте можно обработать, что делать приложению. Пока мы не тестировали механизм взаимодействия PUSH+SIP, но теоретически возможно при поднятии приложения по пушу тут же обрабатывать команду принятия звонка (проверяя перед этим, что SIP драйвер установил соединение).

После выхода из беты в релиз (пару недель)

Perhaps, but as long as this is not in the plans

Next week we will release push notification. You will be able to wake up the application on a call from the SIP (but we have not tested the mutual work SIP and push)

Not yet scheduled

I agree that this may be an important addition, but what is the point you promise that we will do it, if I can not add now it is in the development plan. For the studio is already scheduled task list and unfortunately I can not go there and add it. Maybe it will get in the next step of development (one month later)